风险态度与阿罗—普拉特测度

假设你可以稳拿50美元，或者掷一枚公平硬币，得到100美元或0美元；两种选择的平均收益都是50美元。如果你严格偏好稳拿50美元，就表明你回避这个特定赌局；如果你觉得两者一样好，就是对这两个选择无差异。经济学家使用阿罗—普拉特测度，将多一美元所带来的价值的变化与这份价值的当前水平相比，以描述人们对小风险的偏好。试试这样：说出一个能让你觉得与这次掷硬币赌局一样好的确定金额——这是你对这个赌局的确定性等价，而不是适用于所有风险的分数。

比较平均收益相同的选择

在期望效用理论中，效用表示不同财富水平对一个人意味着多少。风险厌恶者对稳拿赌局的平均收益至少和参与赌局一样满意；这里允许无差异。如果效用严格凹，且赌局结果并非常数，那么对确定收益的偏好就是严格的。风险中性者觉得两者一样好，风险偏好者则更喜欢赌局，而不是稳拿其平均收益。偏好风险并不意味着无论收益如何都接受任何赌局。

衡量对小风险的偏好

边际效用指多一美元所带来的价值。阿罗—普拉特绝对风险厌恶测度，将这份价值随财富的变化与其当前水平相比。如果重新缩放效用数值而不改变偏好，这个比值保持不变；图形弯曲的原始程度却未必如此。系数为正表示局部风险厌恶，为负表示局部风险偏好。系数为零意味着小风险的二阶风险溢价为零；单凭这一点，不能断定对附近的赌局完全风险中性。

将测度与具体选择联系起来

确定性等价是一个确定的财富金额，一个人认为它与某个特定赌局一样好。风险溢价是最终财富的期望值与确定性等价之间的差额。对于一个以相同概率使财富增加或减少同一小额金额的公平赌局，风险溢价近似等于绝对风险厌恶系数乘以赌局方差的一半；方差衡量结果的分散程度。这是局部近似，并非适用于任意大风险的精确规则。它有助于解释为避开某一特定风险愿意支付多少，但不能证明任何一份保险都物有所值。

区分不同的财富比较

绝对风险厌恶递减指：在效用函数不变时，同一个人的绝对风险厌恶系数随财富增加而下降。这是一个模型可能具备的性质，并不是每个人都必须符合的预测。比较亿万富翁和学生不能证明这一性质，因为他们的偏好可能不同。相对风险厌恶等于绝对系数乘以正的财富水平；相对风险厌恶不变意味着，即使绝对系数发生变化，这个乘积仍保持不变。

谨慎应用这种比较

比较确定性等价时，要说明收益金额、概率和当前财富。观察到一次选择，并不能揭示一个人对所有赌局的态度。职业和投资决策还涉及预期回报和其他好处，因此不能仅凭其中一次决策就唯一确定一个人的风险厌恶程度。深度解读部分给出了形式化定义和假设。

对于二阶可微且递增的效用函数 u(w)，绝对风险厌恶为 A(w) = -u''(w)/u'(w)，其中 u'(w) > 0。当 w > 0 时，相对风险厌恶为 R(w) = w A(w)。凹性意味着 u''(w) ≤ 0，因而 A(w) ≥ 0；在 u''(w) < 0 的地方，A(w) 为正。某一财富水平上的 A(w) = 0 表示二阶风险溢价为零，并不一定意味着对附近的赌局完全无差异。DARA 指 A(w) 随财富递减；CRRA 指 R(w) 保持不变。对于小型、对称的公平风险，局部近似为：风险溢价 ≈ A(w) × 方差 / 2。

阿罗—普拉特测度将效用函数所表示的偏好与规避风险所愿支付的溢价联系起来。

• 普拉特（1964）在货币效用框架中考察了局部风险厌恶、任意风险的风险溢价以及风险厌恶递减的概念，并将这些思想联系起来。[1]
• Eeckhoudt 与 Laeven（2015）在第2节推导了期望效用下小型、对称公平风险的近似：风险溢价约等于方差的一半乘以 -u''(w)/u'(w)。这篇原创论文还发展了对偶理论和秩依赖效用下的对应测度。[2]
• 卡尼曼与特沃斯基（1979）报告了一些与期望效用理论不符的风险选择模式，并提出前景理论作为另一种描述性解释，将结果作为收益和损失来评价。[3]

阿罗—普拉特系数描述的是期望效用模型中的局部偏好，该模型要求效用足够光滑且递增。某一财富水平上的单个系数，不能概括对所有大额赌局的反应。小风险溢价公式是一种近似，必须尊重其适用范围。在这一模型内，风险态度可以随财富变化；风险厌恶不变是额外的假设。基本设定使用给定的概率，本身不能解释概率未知时的选择。卡尼曼与特沃斯基的前景理论针对观察到的偏离期望效用的现象，包括对收益和损失的不同反应。[3] 估计一个效用函数，也需要比观察到一次选择更多的信息。