似然比与贝叶斯因子

似然比和贝叶斯因子衡量的是，一条证据应该让你在多大程度上改变想法。你可以把它们看成一种翻译工具：把原始信息转化成明确的信号，告诉你该如何调整对某个判断的信心。

这两种工具会比较两个相互竞争的解释，看哪个更能预测同一条证据。如果假设 A 预测所观察结果的可能性是假设 B 的十倍，那么支持 A 的贝叶斯因子就是 10。通过贝叶斯更新，这个比值会调整你原先的判断，也就是先验信念，得到新的后验信念。

在医学检测中，似然比高于 10 被视为支持某项诊断的有力证据，而低于 0.1 则有力地支持排除该诊断。不过，对于一种罕见疾病，即使检测结果为“阳性”，似然比达到 100，如果患病率只有 0.1%，也就是每 1,000 人中有 1 人患病，你实际患病的概率仍然只有约 9%。这是因为你一开始认为自己患病的可能性很低。证据把这个概率从 0.1% 提高到了 9%，实际上增加到了原来的 90 倍，但绝对概率仍然很低。

这些工具的用途远不止医学。在法律推理中，法医鉴定结果的一次匹配，可能以 1,000 比 1 的似然比支持有罪。但如果根据其他证据得出的先验概率只有万分之一，更新后的概率仍然不到 10%。在商业决策中，客户调查显示满意度为 70%，看起来可能是个好消息。但如果回复率只有 5%，这份证据可能还不足以改变你原先对样本代表性的怀疑。

实际运用时，要始终问自己：相对于我原先的判断，这条证据究竟有多强？别只看结果是“阳性”还是“阴性”。贝叶斯因子会促使你明确说明证据的质量，以及自己最初的假设。

贝叶斯因子通过比较各个假设预测观测数据的能力，量化证据对不同假设的相对支持程度。严格来说，贝叶斯因子是边际似然之比。边际似然指的是，在某个假设下，将所有可能的参数取值都考虑进去后，数据出现的平均概率。这与经典似然比不同：经典似然比比较的是各个假设在单个参数估计值处取得的最大似然。Kass 和 Raftery（1995）给出了标准的解释分级：贝叶斯因子在 1 至 3 之间，表示“最多只值得略作一提”；在 3 至 20 之间，表示“有一定支持的证据”；在 20 至 150 之间，表示“强证据”；高于 150，表示“很强的证据”[1]。Jeffreys（1961）最初提出了这种对数证据量表，并指出，人对证据强弱的感知大致遵循对数模式 [2]。

• Kruschke（2014）：“贝叶斯因子衡量的是，数据让信念从一个假设转向另一个假设的程度。”这强调了贝叶斯因子描述的是信念状态的变化，而非绝对真理 [3]。
• Morey 等人（2016）：贝叶斯因子直接量化证据对相互竞争的模型的支持强度，而不是针对一个任意设定的零假设进行检验，从而避开了“p 值谬误”[4]。
• Wagenmakers 等人（2011）：在心理学研究中，贝叶斯因子让研究者能够真正为零假设提供支持，而不只是未能拒绝零假设。对于检验那些预测“没有效应”的理论，这是一个关键优势 [5]。

术语解释：边际似然把某个假设下所有参数取值对应的数据预测能力加以平均，并根据对这些参数的先验信念赋予权重。

贝叶斯因子依赖于为模型参数指定的先验分布，这会引入主观性：对于同一组数据，不同但都合理的先验分布可能得出不同的贝叶斯因子。对于复杂模型，计算成本也会很高。Jeffreys 和 Kass-Raftery 的解释量表属于经验准则，而非普遍适用的阈值。在不同领域，什么算“强”证据，需要结合具体情境判断。此外，贝叶斯因子假定你至少正确设定了一个参与比较的模型；如果所有模型都设定有误，这个比值可能会产生误导。