期望值

期望值就是一个有风险的选择在理论上的长期平均结果，计算时要把每种可能的结果按发生概率加权。例如，有百分之一的机会赢得100美元，期望值约为1美元，所以花2美元买这张彩票并不划算。请注意：如果只尝试几次，实际结果可能与这个平均值相差很大。 试试这样：选一个日常需要做的选择，列出两种可能的结果和各自的大致概率，把每种结果与对应概率相乘，再加起来，得到平均值。

期望值把不确定的结果归纳为一个理论上的长期平均值，让你能用同一把尺子比较不同选项。

估算时，你要把每种可能的结果按发生概率加权，再相加。期望值在反复做同类决策，或同时考虑一组投资或决策时最有参考价值；如果只尝试几次，实际结果可能与平均值相差很大。

在风险投资中，如果少数几笔投资的大额收益能抵过整个投资组合中许多笔较小的损失，那么投资多家初创企业可能是合理的选择。

在医疗保健中，如果一项筛查计划为患者带来的平均收益超过预期成本和伤害，这项计划就有吸引力。

保险公司设定保费时，会让预期赔付和费用低于预期收入，以保持偿付能力，同时管理尾部风险，也就是极端不利结果带来的风险，并考虑资本方面的限制。

对于只做一次、后果重大的选择，除了期望值，你还要考虑可能的损失、结果的波动程度，以及自己能承受多大的风险。

期望值是基于概率的决策模型的基础；行为研究和工程研究则说明，哪些情况下只看平均值还不够。

• 期望效用理论以早期见解和风险决策公理为基础，严格说明了在什么条件下，让效用的加权平均值最大化是理性的选择 [2]。（1944年）
• 前景理论及后续综述记录了损失厌恶和概率加权现象，解释了人们为何会系统性地偏离纯粹依据期望值做出的选择 [4]。（2013年）
• 考虑风险的机器学习方法，例如安全强化学习，力求在获得较高平均回报的同时，在实践中管理尾部风险 [5]。（2015年）

期望值有参考价值，但仅靠它还不够。

• 它把各种结果归纳为一个数字。如果涉及安全或健康等非金钱因素，取平均值可能掩盖伦理上的取舍。
• 期望值是理论上的长期平均值。对于只做一次或少数几次的决策，尤其是可能遭受毁灭性损失时，结果的分布情况（最坏情况、尾部风险）和限制条件，与平均值同样重要。
• 人们常常误判概率，而且对损失的重视程度高于同等收益，因此实际观察到的选择可能偏离期望值这一基准。
• 相同的期望值可能掩盖截然不同的风险状况。期望值是按概率加权的平均值；风险则涉及各种结果在这个平均值周围有多分散，例如方差和尾部结果。
• 金钱不等于效用或福祉。决策通常追求的是期望效用或整体价值最大化，而不只是预期账面收益最大化。效用指的是某种结果对你的价值或带来的满足感。