决策树与期望值

决策树会列出不确定情境下的各个选项、它们可能带来的结果，以及每种结果发生的概率。期望值就是按这些概率加权计算的平均结果：比如，假设你抛一枚公平硬币，正面得 1,200 美元，反面一分钱也得不到，那么这笔收益的期望值就是 600 美元。 试试这样：画出一个有不确定性的选择，列出可能的结果及其概率，再比较各选项的货币收益期望值。

在决策节点，分支代表你可以采取的行动。在随机节点，分支代表各种可能的结果：这些结果不能同时发生，而且要涵盖所有可能性。在给定此前事件的条件下，这些结果的概率之和必须为一。终点记录收益或成本，也就是某个结果会让你得到或付出多少钱。2

计算时，从决策树的终点往回推。如果目标是让收益期望值最大，就在随机节点按概率计算平均值，在决策节点保留数值最高的选项。在前面假设的抛硬币例子中，1,200 美元的一半加上零美元的一半，得到的货币收益期望值是 600 美元，可以拿它与保证获得的 500 美元作比较。假设两种选择的成本相同、付款时间也相同，抛硬币的货币收益期望值更高。但实际拿到的钱仍然只有两种可能：1,200 美元，或者一分钱也没有。2

货币收益期望值更高，并不能确定你应该更喜欢哪个选项。如果你需要 500 美元来支付一笔必要的账单，你可能更愿意选择保证拿到钱的方案，因为一分钱也拿不到会带来严重后果。伯努利区分了金钱数额与效用：效用指的是这些钱对处于特定境况中的某个人有多大价值。1

概率估计可能带有主观性。试着调整那些不确定的估计，看看选项的排序是否会改变，这就是敏感性分析。比较结果仍然取决于你在决策树中纳入了哪些结果及其收益或成本。2

• 伯努利区分了一笔所得的金钱数额与它带来的效用。[1]
• 伯努利解释说，一笔所得的效用取决于获得这笔钱的人的经济状况。[1]
• 这里引用的英文译本发表于 1954 年，拉丁文原文发表于 1738 年。[1]
• 麻省理工学院的这份讲义介绍了从终点往回计算的方法：在事件节点按概率计算平均值；以收益最大化为目标时，在选择节点保留数值最高的选项。[2]
• 这份麻省理工学院讲义通过改变输入值、查看决策是否变化，演示了敏感性分析。[2]

收益的期望值不等于保证能拿到的钱。计算结果取决于模型中纳入的结果、概率，以及相应的收益或成本。2 单看金钱的期望值，无法体现一个人在自身境况下如何看待风险；要评估效用，还需要对这些偏好作出额外假设。1