Actitudes ante el riesgo y medidas de Arrow-Pratt

Imagina que puedes recibir $50 con certeza o lanzar una moneda equilibrada para obtener $100 o $0; ambas opciones dan un promedio de $50. Preferir estrictamente el pago seguro muestra que evitas esta apuesta concreta, mientras que ser indiferente significa que las dos opciones te resultan igual de atractivas. Los economistas usan las medidas de Arrow-Pratt para describir las preferencias ante riesgos pequeños: comparan cómo cambia el valor de un dólar adicional con su valor actual. Prueba esto: di qué cantidad garantizada te haría indiferente entre recibirla o lanzar la moneda; ese es tu equivalente cierto para esta apuesta, no una puntuación que describa tu actitud ante cualquier riesgo.

Compara pagos con el mismo promedio

En la teoría de la utilidad esperada, la utilidad representa cuánto significan para alguien distintas cantidades de riqueza. Una persona con aversión al riesgo prefiere recibir con certeza el pago medio de una apuesta, o considera ambas opciones igual de atractivas. Si la utilidad es estrictamente cóncava y la apuesta tiene resultados variables, la preferencia es estricta. Las personas neutrales al riesgo son indiferentes, mientras que quienes tienen preferencia por el riesgo prefieren la apuesta a su pago medio. Tener preferencia por el riesgo no significa aceptar cualquier apuesta sin importar lo que pague.

Mide las preferencias ante riesgos pequeños

La utilidad marginal es el valor de un dólar adicional. La medida de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt compara cómo cambia ese valor al variar la riqueza con su nivel actual. Esta comparación no cambia si modificamos la escala de la utilidad sin alterar las preferencias; la curvatura de una gráfica por sí sola sí puede cambiar. Un coeficiente positivo indica aversión local al riesgo, mientras que uno negativo indica preferencia local por el riesgo. Un coeficiente igual a cero hace que la prima por un riesgo pequeño sea cero en la aproximación de segundo orden; por sí solo, no demuestra una neutralidad exacta ante apuestas cercanas.

Conecta la medida con una elección

El equivalente cierto es la riqueza garantizada que alguien valora igual que una apuesta concreta. La prima de riesgo es la diferencia entre la riqueza final esperada y ese equivalente cierto. Para una apuesta justa y pequeña que suma o resta la misma cantidad con igual probabilidad, la prima es aproximadamente la mitad del coeficiente de aversión absoluta al riesgo multiplicada por la varianza de la apuesta, una medida de la dispersión de sus resultados. Es una aproximación local, no una regla exacta para riesgos grandes cualesquiera. Puede ayudar a explicar cuánto está dispuesto a pagar alguien para evitar un riesgo concreto, sin demostrar que una póliza de seguro valga lo que cuesta.

Distingue las comparaciones de riqueza

La aversión absoluta al riesgo decreciente significa que el coeficiente absoluto de una misma persona disminuye a medida que aumenta su riqueza, manteniendo fija su función de utilidad. Es una propiedad que puede tener un modelo, no una predicción que deba cumplirse para cada persona. Comparar a un multimillonario con un estudiante no permite establecerla: pueden tener preferencias distintas. La aversión relativa al riesgo multiplica el coeficiente absoluto por la riqueza positiva; una aversión relativa al riesgo constante significa que este producto se mantiene constante aunque cambie el coeficiente absoluto.

Aplica la comparación con cuidado

Especifica las cantidades que se pueden recibir, las probabilidades y la riqueza actual al comparar equivalentes ciertos. Una sola elección observada no revela la actitud ante cualquier apuesta. Las decisiones profesionales y de inversión también reflejan los rendimientos esperados y otros beneficios, así que una sola decisión de este tipo no permite identificar de forma única la aversión al riesgo de alguien. La sección de profundización presenta las definiciones formales y los supuestos.

Para una función de utilidad u(w) creciente y dos veces derivable, la aversión absoluta al riesgo es A(w) = -u''(w)/u'(w), donde u'(w) > 0. La aversión relativa al riesgo es R(w) = w A(w) para w > 0. La concavidad implica u''(w) ≤ 0 y A(w) ≥ 0; donde u''(w) < 0, A(w) es positiva. Que A(w) = 0 en un nivel de riqueza describe una prima de segundo orden igual a cero, no necesariamente una indiferencia exacta ante apuestas cercanas. DARA significa que A(w) disminuye con la riqueza; CRRA significa que R(w) es constante. Para un riesgo justo, pequeño y simétrico, la aproximación local es prima ≈ A(w) × varianza / 2.

Las medidas de Arrow-Pratt conectan las preferencias representadas mediante funciones de utilidad con las primas por evitar el riesgo.

• Pratt (1964) examina la aversión local al riesgo, las primas de riesgo para riesgos cualesquiera y el concepto de aversión al riesgo decreciente. Relaciona estas ideas dentro de un marco de utilidad del dinero. [1]
• Eeckhoudt y Laeven (2015), en la sección 2, derivan la aproximación de la utilidad esperada para un riesgo justo, pequeño y simétrico: su prima de riesgo es aproximadamente la mitad de su varianza multiplicada por -u''(w)/u'(w). Su artículo original también desarrolla medidas equivalentes en la teoría dual y la utilidad dependiente del rango. [2]
• Kahneman y Tversky (1979) presentan patrones de elección ante el riesgo que contradicen la teoría de la utilidad esperada y proponen la teoría de las perspectivas como una explicación descriptiva alternativa, en la que los resultados se evalúan como ganancias y pérdidas. [3]

Los coeficientes de Arrow-Pratt describen preferencias locales dentro de un modelo de utilidad esperada con una función de utilidad creciente y suficientemente suave. Un solo coeficiente en un nivel de riqueza no resume las respuestas ante cualquier apuesta grande. La fórmula de la prima para riesgos pequeños es una aproximación cuyo alcance debe respetarse. La actitud ante el riesgo puede variar con la riqueza dentro del modelo; una aversión al riesgo constante es un supuesto adicional. El planteamiento básico utiliza probabilidades especificadas y no explica por sí solo las elecciones cuando se desconocen las probabilidades. La teoría de las perspectivas de Kahneman y Tversky aborda las desviaciones observadas respecto a la utilidad esperada, incluidas las distintas respuestas ante ganancias y pérdidas [3]. Estimar una función de utilidad también requiere más información que una sola elección observada.